Lösung

Die (Ausgangs-)Länge der kürzeren Kerze beträgt drei Viertel der längeren Kerze.
Denn nach zwei Stunden ist die längere Kerze (Länge L) zur Hälfte abgebrannt, die kürzere Kerze (Länge l) zu zwei Dritteln.  also .
Entscheidend ist nur das Längenverhältnis. Lösungen gibt es viele, z.B. ganzzahlig L=16cm und l=12 cm. (Es gibt zahlreiche Lösungswege, z.B. eine Zeichnung zugehöriger Graphen, ein Gleichungssystem oder auch zielgerichtetes, sinnvolles Probieren.)

(alle Rätsel: aufgeschrieben von Jörg Semmler)

Zwei ausreichend große Becher sind jeweils mit 1,2 Litern Wasser gefüllt. Wir gießen die Hälfte des Inhalts des einen Bechers in den anderen. Anschließend wird immer jeweils genau die Hälfte des volleren Bechers in den anderen geleert.
Natürlich betreiben wir Mathematik – also gibt es keinerlei Verluste und wir gießen so genau wie es die (Modell-)Rechnungen vorschreiben!

Frage: Welches „Gleichgewicht“ stellt sich ein? Wann genau wird das der Fall sein?

Rätsel Nummer 2 – Lösung

Es stellt sich auf sehr lange Sicht ein Gleichgewicht ein: In dem einen Becher befinden sich 0,8 Liter, in dem anderen 1,6 Liter. Dann nämlich werden in einem Gießvorgang genau 0,8 Liter umgegossen, so dass die Menge Wasser genau anders herum verteilt ist.
Rechnet man exakt nach, bemerkt man, dass man dem Gleichgewicht rechnerisch nur beliebig nahe kommt, es aber (im Prinzip) erst nach unendlich vielen Gießvorgängen erreichen würde.

Gesucht ist eine Zahl, die  folgendermaßen geschrieben ist: 4E20. Ihr Vorgänger ist 4E1F und ihr Nachfolger ist 4E21.
Welches Zahlsystem wurde also benutzt? Wie heißt die Zahl im Zehnersystem?

Lösung:  
Die Zahl ist im Sechzehnersystem dargestellt, denn zu den zehn
Ziffern Null bis Neun kommen noch sechs Buchstaben A bis F (auf F folgt
0, siehe Vorgängerzahl). Im Zehnersystem haben wir also 0 mal 1 plus 2
mal sechzehn plus vierzehn (dafür steht das E) mal sechzehn hoch zwei
(also 256) plus 4 mal sechzehn hoch drei (also 4096) - zusammen 20000.

In einer Kleinfamilie sind (am Geburtstag der Tochter) Vater, Mutter und Tochter zusammen genau 100 Jahre alt. Fünf Jahren zuvor war der Vater neun mal so alt wie seine Tochter. Bei der Geburt der Tochter war der Vater zehn Jahre älter als die Mutter.
Wie alt sind nun – in ganzen Zahlen – die drei Familienmitglieder? Zur (Zahlen-)Lösung sollte eine kurze Beschreibung des Lösungswegs hinzugefügt werden, wobei auch zielgerichtetes Probieren völlig in Ordnung ist.

Lösung des Mathe-Rätsels Nummer 4:

Der Vater ist 50, die Mutter 40 und die Tochter 10 Jahre alt. Natürlich kann man drei Gleichungen mit drei Unbekannten Größen (Alter von ...) aufstellen und das Lineare Gleichungssystem lösen, aber auch mit der Feststellung, dass natürlich auch heute noch die Mutter 10 Jahre jünger als der Vater ist und das Alter des Vaters ein Vielfaches von neun plus fünf sein muss, d.h. 32 oder 41 oder 50 oder 59, .... kommt man durch Probieren zur Lösung.

Wie viele Schnittpunkte insgesamt haben sechs Geraden, wenn die Geraden paarweise weder parallel noch identisch sind (das nennt man allgemeine Lage)?

Für Spezialisten:
Wie lautet die allgemeine Berechnungsvorschrift für die Anzahl der Schnittpunkte, wenn die Anzahl der Geraden n ist?

 

Lösung des Mathe-Rätsels Nummer 5:

Die sechs Geraden haben insgesamt 15 Schnittpunkte. Jede Gerade schneidet alle ihre „Vorgänger“, so dass man rechnet: 1+2+3+4+5 (eine große Zeichnung sollte das bestätigen).
Bei n Geraden muss man also 1+2+3+4+...+(n-1)+n rechnen. Das kann man direkt ausrechnen mit n*(n-1):2 (in Worten: „n mal n minus eins halbe“). Z.B. ergibt sich für n gleich 100 bereits 100 mal 99 durch 2, also 4950.

Wir beweisen heute, dass 10 Cent genauso viel sind wie 1 Euro. Wo liegt hier der Denkfehler?

Ein Halbes mal ein Fünftel ist ein Zehntel. Ein halber Euro mal ein Fünftel Euro ist also ein Zehntel Euro. Ein halber Euro sind 50 Cent und ein Fünftel Euro sind 20 Cent. 50 mal 20 sind 1000. 50 Cent mal 20 Cent sind also 1000 Cent. Weil aber 1000 Cent gleich 10 Euro sind, müssen ein Zehntel Euro, oder 10 Cent gleich den 100 Cent, also 10 Euro sein.

Lösung des Mathe-Rätsels Nummer 6:
Niemand wird ernsthaft behaupten, dass das in der Aufgabe Behauptete stimmt. Die Einheiten stimmen nicht, denn Euro mal Euro sind Quadrateuro und Cent mal Cent sind Quadratcent; nur das ist natürlich sinnlos. Wechseln wir die Einheiten zu Meter und Zentimeter, dann ergäben sich analog gerechnet ein Zehntel Quadratmeter und 1000 Quadratzentimeter. Diese beiden Flächeninhalte sind aber gleich groß, da die Umrechnungszahlen für Flächeneinheiten 100 bzw. 10000 sind. Für Quadrateuros darf man aber nicht die Umrechnungszahl 100 wie für Euros nehmen.

Drei Jungs wollen sich einen Fußball kaufen. Jeder hat 15 € gespart. Damit gehen sie in das örtliche Sportgeschäft und kaufen einen Ball für 45 €. Kaum sind sie wieder gegangen, fällt dem Geschäftsführer ein, dass der Ball im Angebot nur 40 € kosten sollte. Er schickt den Jungen einen seiner Verkäufer mit 5 € hinterher. Dieser aber denkt sich, dass man 5 € gar nicht durch drei teilen könne. Er gibt einfach jedem der drei Jungen einen Euro wieder und steckt sich 2 € in die eigene Tasche.
Jeder der Jungen hat nun also statt 15 € nur 14 € für den Ball bezahlt. Drei mal 14 € macht aber 42 € und zusammen mit den 2 Euros, die in der Hosentasche des Verkäufers stecken, sind das 44 €. Wo ist denn jetzt der 45ste Euro geblieben?

Aufgeschrieben von Jörg Semmler nach einer Anregung von Nicole Hutzler

Lösung des Mathe-Rätsels Nummer 8:

Die Rechnung drei mal vierzehn plus zwei ist in diesem Zusammenhang sinnlos, da das eine Ausgabe, das andere eine Einnahme darstellt. Richtig wäre demnach drei mal vierzehn minus zwei gleich vierzig, und das ist der Geldbetrag in der Kasse vom Sportgeschäft. Bilanz: Jungs: je minus 14 €; Kasse: +40 €; Hosentasche: +2 €. Ausgaben zusammen 42 € und Einnahmen ebenso.